四阶行列式的计算虽然较为复杂，但可以通过一些系统化的方法来简化过程。下面介绍一种常用的计算四阶行列式的方法——余子式展开法。
余子式展开法
余子式展开法是一种基于递归思想的计算行列式的方法，适用于任何阶数的行列式。对于四阶行列式，我们可以选择任意一行或一列作为展开的基础。这里以第一行为例进行说明。
假设我们有一个四阶行列式D：
\[ D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{vmatrix} \]
根据余子式展开法，行列式D可以表示为：
\[ D = a_{11}C_{11} - a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} - a_{14}C_{14} \]
其中，\(C_{ij}\) 是元素\(a_{ij}\)的代数余子式，它等于去掉第i行和第j列后剩下的三阶行列式的值乘以\((-1)^{i+j}\)。
例如，\(C_{11}\)就是去掉第一行和第一列后的三阶行列式的值，乘以\((-1)^{1+1}=1\)；\(C_{12}\)则是去掉第一行和第二列后的三阶行列式的值，乘以\((-1)^{1+2}=-1\)，以此类推。
计算步骤
1. 选择一行或一列：通常选择含有最多零元素的行或列以简化计算。
2. 计算代数余子式：根据选定的行或列，分别计算每个元素对应的代数余子式。
3. 应用余子式展开公式：将每个元素与其对应的代数余子式相乘，并根据余子式展开公式进行加减运算。
实例演示
假设我们有以下四阶行列式：
\[ D = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix} \]
选择第一行进行展开：
\[ D = 1 \cdot C_{11} - 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} - 2 \cdot C_{14} \]
其中，
- \(C_{11}\) 是去掉第一行第一列后的三阶行列式，即
\[ C_{11} = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0) = 1 \]
- \(C_{14}\) 是去掉第一行第四列后的三阶行列式，即
\[ C_{14} = \begin{vmatrix}
0 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
3 & 0 & 0
\end{vmatrix} = 3 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = 3 \cdot (-3) = -9 \]
因此，最终结果为：
\[ D = 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-9) = 1 + 18 = 19 \]
这种方法虽然在处理高阶行列式时计算量较大，但对于四阶行列式来说，通过合理选择展开行或列，可以显著减少计算量。