线性回归是统计学中的一种基础模型，用于研究一个或多个自变量与因变量之间的关系。最简单的形式是一元线性回归，它假设自变量与因变量之间存在线性关系，并通过拟合一条直线来描述这种关系。

一元线性回归的数学表达式为：

\[ Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon \]

其中，\(Y\) 是因变量，\(X\) 是自变量，\(\beta_0\) 和 \(\beta_1\) 分别代表截距和斜率（回归系数），\(\epsilon\) 表示误差项，即实际观测值与预测值之间的差异。

在实际应用中，我们通常使用最小二乘法来估计模型参数 \(\beta_0\) 和 \(\beta_1\)。最小二乘法的目标是最小化所有观测点到直线的垂直距离的平方和，即：

\[ \min_{\beta_0, \beta_1} \sum_{i=1}^{n}(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2 \]

其中 \(n\) 为样本数量，\(y_i\) 和 \(x_i\) 分别为第 \(i\) 个观测点的因变量值和自变量值。

多元线性回归则是将上述原理扩展到多个自变量的情况，其数学表达式为：

\[ Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p + \epsilon \]

这里，\(p\) 表示自变量的数量，\(\beta_0, \beta_1, ..., \beta_p\) 是需要估计的回归系数。

线性回归模型简单直观，易于理解和解释，在经济学、金融学、社会科学等多个领域有着广泛的应用。通过分析回归系数的大小和符号，可以了解各个自变量对因变量的影响程度及其方向，从而帮助决策者做出更加科学合理的判断。