y = sec²x 的定义域

函数 \( y = \sec^2 x \) 是数学中一个重要的三角函数表达式，它由基本三角函数之一的正割函数（secant）的平方组成。要确定其定义域，我们需要分析正割函数的性质以及其平方对定义域的影响。

一、正割函数的基本性质

正割函数定义为 \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \)，因此它的值取决于余弦函数 \( \cos x \) 的取值。当 \( \cos x = 0 \) 时，正割函数无意义，因为分母不能为零。因此，\( \cos x = 0 \) 的点是正割函数的间断点。

在单位圆上，余弦函数 \( \cos x = 0 \) 出现在 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) （其中 \( k \) 为整数）。这些点构成了正割函数的垂直渐近线。

二、正割函数平方的影响

当我们将正割函数平方后，即 \( \sec^2 x = \left( \frac{1}{\cos x} \right)^2 \)，其定义域并未发生本质变化。这是因为平方运算不会消除正割函数的间断点。只要 \( \cos x = 0 \)，无论是否取平方，函数都无意义。

因此，函数 \( y = \sec^2 x \) 的定义域排除了所有使 \( \cos x = 0 \) 的点，即：

\[

x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

\]

三、定义域的表示形式

用集合的形式表示，函数 \( y = \sec^2 x \) 的定义域可以写为：

\[

\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \}

\]

或者更简洁地表示为：

\[

x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

\]

四、总结

综上所述，函数 \( y = \sec^2 x \) 的定义域是所有实数 \( x \)，但需排除满足 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) 的点。这一结果来源于正割函数的性质以及平方运算不改变间断点的特点。掌握这一定义域对于进一步研究该函数的图像、单调性及应用具有重要意义。

通过深入理解定义域的构建过程，我们不仅能够准确描述函数的特性，还能更好地应对相关问题的求解与分析。