cos⁴x 的不定积分
在微积分中，求解三角函数的不定积分是一项常见任务。本文将探讨如何计算 $\int \cos^4 x \, dx$。这是一个典型的例子，涉及三角恒等式的应用和分步积分技巧。
首先，我们利用三角恒等式简化 $\cos^4 x$ 的表达形式。根据幂的性质，可以将 $\cos^4 x$ 写为 $(\cos^2 x)^2$。接着，我们知道 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$，这是由余弦平方公式推导而来的。将其代入后，$\cos^4 x$ 可化简为：
$$
\cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} (1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)).
$$
接下来，再次使用三角恒等式 $\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$，将其代入上述表达式，得到：
$$
\cos^4 x = \frac{1}{4} \left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right).
$$
进一步整理后，可得：
$$
\cos^4 x = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{2} + 2\cos(2x) + \frac{\cos(4x)}{2}\right).
$$
因此，$\cos^4 x$ 的不定积分变为：
$$
\int \cos^4 x \, dx = \frac{1}{4} \int \left(\frac{3}{2} + 2\cos(2x) + \frac{\cos(4x)}{2}\right) dx.
$$
逐项积分，我们可以得到：
$$
\int \cos^4 x \, dx = \frac{1}{4} \left[\frac{3}{2}x + \sin(2x) + \frac{\sin(4x)}{8}\right] + C,
$$
其中 $C$ 是积分常数。最终结果为：
$$
\int \cos^4 x \, dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C.
$$
这一过程展示了如何通过分解和多次应用三角恒等式来简化复杂的积分问题。这种方法不仅适用于 $\cos^4 x$，也可以推广到其他高次幂的三角函数积分中，体现了数学中化繁为简的思想。