在解析几何中，坐标向量的投影是一个基本而重要的概念。向量的投影可以理解为一个向量沿另一个向量方向上的“影子”，这种运算在物理和工程学中有着广泛的应用。本文将介绍如何求解坐标向量的投影。

1. 基本概念

首先，我们定义两个向量：向量A和向量B。向量A在向量B上的投影，记作proj_B(A)，是指从点A出发，沿着向量B的方向到达直线OB（O为原点）上的一点P，向量OP就是向量A在向量B上的投影。

2. 投影的计算公式

向量A在向量B上的投影长度可以通过以下公式计算：

\[ proj_{\vec{B}}(\vec{A}) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\|\vec{B}\|} \]

其中，\(\vec{A} \cdot \vec{B}\) 表示向量A与向量B的点积，\(\|\vec{B}\|\) 表示向量B的模长（即向量B的长度）。

进一步地，如果我们想要得到投影向量本身，而非仅仅是投影的长度，那么可以使用如下公式：

\[ proj_{\vec{B}}(\vec{A}) = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\vec{B} \cdot \vec{B}} \right) \vec{B} \]

3. 实例演示

假设我们有两个向量 \(\vec{A} = (3, 4)\) 和 \(\vec{B} = (1, 2)\)，我们可以按照上述公式来计算向量A在向量B上的投影。

首先，计算点积：

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 31 + 42 = 3 + 8 = 11 \]

接着，计算向量B的模长：

\[ \|\vec{B}\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \]

然后，计算投影长度：

\[ proj_{\vec{B}}(\vec{A}) = \frac{11}{\sqrt{5}} \]

最后，为了得到投影向量，我们需要乘以单位向量\(\frac{\vec{B}}{\|\vec{B}\|}\)：

\[ proj_{\vec{B}}(\vec{A}) = \left( \frac{11}{5} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) = \left( \frac{11}{5\sqrt{5}}, \frac{22}{5\sqrt{5}} \right) \]

这样我们就得到了向量A在向量B上的投影向量。

通过上述步骤，我们可以清晰地看到如何计算坐标向量的投影。这种方法不仅适用于二维空间中的向量，同样适用于三维或更高维度的空间。希望这个解释能够帮助你更好地理解和应用向量投影的概念。