全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它主要用来研究多元函数在某一点处的变化率。当我们讨论一个多元函数的全微分时，实际上是在探讨该函数在多维空间中各个方向上的变化情况。

一、全微分的概念

对于一个二元函数 \(z = f(x, y)\)，如果在点 \((x_0, y_0)\) 的某个邻域内该函数的增量 \(\Delta z\) 可以表示为：

\[

\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)

\]

其中，\(A\) 和 \(B\) 是与 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 无关的常数，\(o(\rho)\) 表示比 \(\rho\) 高阶的无穷小量（这里 \(\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\)），那么我们称函数 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，并且 \(dz = A\Delta x + B\Delta y\) 称为函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的全微分。

二、如何求全微分

求解多元函数的全微分通常遵循以下步骤：

1. 计算偏导数：首先需要分别计算函数关于每个自变量的偏导数。例如，对于函数 \(z = f(x, y)\)，我们需要计算 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial y}\)。

2. 应用全微分公式：一旦得到偏导数后，可以使用全微分的定义来写出全微分表达式。即 \(dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy\)。

三、实例分析

假设有一个二元函数 \(z = x^2y + xy^2\)，要求其在点 \((1, 2)\) 处的全微分。

- 首先计算偏导数：

- 关于 \(x\) 的偏导数为 \(\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y^2\)

- 关于 \(y\) 的偏导数为 \(\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 2xy\)

- 将点 \((1, 2)\) 代入上述偏导数表达式中：

- \(\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)} = 212 + 2^2 = 8\)

- \(\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)} = 1^2 + 212 = 5\)

- 最终，该函数在点 \((1, 2)\) 处的全微分为 \(dz = 8dx + 5dy\)。

通过以上步骤，我们可以系统地理解和求解多元函数的全微分问题。全微分不仅帮助我们理解多元函数的局部性质，而且在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。