在数学中，特别是微积分领域，理解函数的导数是非常关键的一部分。导数可以用来描述一个函数在某一点上的瞬时变化率。对于除法形式的函数，如\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\)，我们可以通过商规则（Quotient Rule）来求其导数。

除法求导公式：商规则

假设我们有一个函数\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\)，其中\(g(x)\)和\(h(x)\)都是可导函数，并且\(h(x) \neq 0\)。那么，函数\(f(x)\)的导数可以通过下面的公式计算：

\[f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}\]

这个公式告诉我们，要找到两个函数相除后形成的函数的导数，我们需要做的是：首先，取分子函数\(g(x)\)的导数\(g'(x)\)，然后乘以分母函数\(h(x)\)；接着，从上面的结果中减去分子函数\(g(x)\)与分母函数\(h(x)\)导数\(h'(x)\)的乘积；最后，将得到的结果除以分母函数\(h(x)\)的平方。

应用实例

例如，考虑函数\(f(x) = \frac{x^2}{x + 1}\)。这里，\(g(x) = x^2\)，\(h(x) = x + 1\)。根据商规则，

- \(g'(x) = 2x\)

- \(h'(x) = 1\)

代入公式，我们得到：

\[f'(x) = \frac{(2x)(x + 1) - (x^2)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}\]

这样，我们就找到了原函数\(f(x) = \frac{x^2}{x + 1}\)的导数\(f'(x)\)。

通过这种方法，我们可以处理更复杂的除法形式的函数，从而更好地理解和分析它们的变化特性。掌握商规则是学习微积分的一个重要步骤，它为解决更多高级问题奠定了基础。