线性回归：从基础到应用

线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测分析方法，主要用于研究变量之间的线性关系。其核心思想是通过构建一个数学模型来描述自变量（输入）与因变量（输出）之间的线性关联，并利用该模型对未知数据进行预测。

在数学上，一元线性回归的公式可以表示为：

\[ y = wx + b \]

其中，\(y\) 是因变量，\(x\) 是自变量，\(w\) 和 \(b\) 分别代表权重和偏置项。权重 \(w\) 决定了自变量对因变量的影响程度，而偏置 \(b\) 则是当自变量为零时因变量的初始值。

多元线性回归则扩展了这一概念，适用于多个自变量的情况。其公式为：

\[ y = w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_nx_n + b \]

这里，\(n\) 表示自变量的数量，每个自变量都有对应的权重 \(w_i\)。多元线性回归能够更全面地捕捉复杂系统的规律，因此在实际问题中更为常见。

线性回归的核心在于寻找最优参数 \(w\) 和 \(b\)，使得预测值与真实值之间的误差最小化。通常采用“均方误差”作为损失函数，即所有样本点的预测值与真实值之间差值平方的平均值。通过梯度下降等优化算法迭代调整参数，最终得到最佳拟合直线或平面。

线性回归不仅理论简单直观，而且计算效率高，在房价预测、销售趋势分析等领域具有广泛应用。然而，它也有局限性，例如只能处理线性关系的数据，且对异常值较为敏感。尽管如此，线性回归依然是理解数据建模的基础工具之一，为更复杂的机器学习技术奠定了坚实基础。