0-1分布的期望与方差

在概率论中，0-1分布是一种最基础的概率分布模型。它描述了只有两种可能结果的随机事件，例如抛硬币时正面或反面出现的情况。这种分布具有广泛的应用场景，如质量检测、医学试验等。

假设一个随机变量 \( X \) 服从0-1分布，则其取值只能是0或1，且满足以下概率分布：

\[

P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p,

\]

其中 \( p \in [0,1] \)，表示事件发生的概率。

接下来，我们计算0-1分布的期望和方差。期望（数学期望）是随机变量所有可能取值与其对应概率乘积的总和，用公式表示为：

\[

E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X=x).

\]

对于0-1分布，\( X \) 的取值为0和1，因此：

\[

E(X) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p.

\]

这意味着0-1分布的期望等于事件发生的概率 \( p \)。

方差衡量随机变量取值偏离其均值的程度，定义为：

\[

Var(X) = E[(X - E(X))^2].

\]

将 \( E(X) = p \) 代入公式，得到：

\[

Var(X) = E[(X-p)^2] = (0-p)^2 \cdot (1-p) + (1-p)^2 \cdot p.

\]

化简后：

\[

Var(X) = p^2(1-p) + (1-p)^2p = p(1-p).

\]

综上所述，0-1分布的期望为 \( E(X) = p \)，方差为 \( Var(X) = p(1-p) \)。这两个指标直观地反映了随机事件发生的概率及其不确定性程度。当 \( p \) 越接近0或1时，方差越小，表明结果更趋于确定；而当 \( p=0.5 \) 时，方差达到最大值 \( 0.25 \)，说明此时的不确定性最高。

0-1分布作为概率论中的基石之一，不仅帮助我们理解简单随机现象，还为复杂模型提供了理论支持。掌握这一分布的性质，有助于解决实际问题中的统计分析需求。