对函数 \( x \ln x \) 求导的推导与应用

在数学分析中，函数的求导是研究其变化规律的重要工具。本文将探讨如何对函数 \( y = x \ln x \) 进行求导，并简要说明其实际意义。

首先，回顾基本的微积分知识：当一个函数由两个部分相乘时，可以使用乘积法则进行求导。乘积法则的公式为：

\[

(fg)' = f'g + fg'

\]

这里，\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 是两个可导函数。

对于 \( y = x \ln x \)，我们可以将其分解为两部分：\( f(x) = x \) 和 \( g(x) = \ln x \)。根据乘积法则：

\[

y' = (x)' (\ln x) + (x)(\ln x)'

\]

计算各部分的导数：

- \( (x)' = 1 \)

- \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)

因此，代入公式得：

\[

y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}

\]

化简后：

\[

y' = \ln x + 1

\]

这便是函数 \( y = x \ln x \) 的导数表达式。

进一步分析其意义，函数 \( y = x \ln x \) 常用于描述某些增长过程或优化问题。例如，在经济学中，它可以表示成本随产量的变化关系；在物理学中，则可能对应某种能量分布模型。而其导数 \( y' = \ln x + 1 \) 则提供了关于该函数增长率的信息。

值得注意的是，由于 \( \ln x \) 的定义域为 \( x > 0 \)，因此上述结果仅适用于正实数范围内的 \( x \)。此外，当 \( x \to 0^+ \) 时，\( \ln x \to -\infty \)，表明此时函数的增长趋势受负值主导；而当 \( x \to +\infty \) 时，函数呈加速增长状态。

综上所述，通过对 \( x \ln x \) 求导，我们不仅获得了其变化率的具体形式，还揭示了它在不同区间内的行为特征。这一过程体现了微积分作为工具的强大之处——通过简单的公式推导即可深入理解复杂现象背后的本质规律。