求函数 \( x \sin x \) 的原函数是一个典型的不定积分问题，属于高等数学中的基本内容。原函数是指一个函数的导数等于给定的函数。对于 \( x \sin x \)，我们需要找到它的不定积分，即：

\[

\int x \sin x \, dx

\]

分析与解题思路

在解决这类问题时，通常会用到分部积分法。分部积分法的基本公式是：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

在这里，我们可以选择 \( u = x \) 和 \( dv = \sin x \, dx \)。这样，\( du = dx \)，而 \( v \) 是 \( \sin x \) 的原函数，即 \( v = -\cos x \)。

将这些代入分部积分公式，我们得到：

\[

\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx

\]

简化后为：

\[

\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx

\]

接下来，计算 \( \int \cos x \, dx \)。我们知道 \( \cos x \) 的原函数是 \( \sin x \)，因此：

\[

\int \cos x \, dx = \sin x

\]

将其代入上式，最终结果为：

\[

\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C

\]

其中，\( C \) 是积分常数。

结论

综上所述，函数 \( x \sin x \) 的原函数为：

\[

F(x) = -x \cos x + \sin x + C

\]

这个结果可以通过求导验证其正确性。对 \( F(x) \) 求导，可以得到：

\[

F'(x) = -\cos x + x \sin x + \cos x = x \sin x

\]

这验证了我们的解答是正确的。

总结

不定积分的求解需要灵活运用各种方法，尤其是分部积分法。通过上述过程可以看出，分部积分法的关键在于合理选择 \( u \) 和 \( dv \)，并注意每一步的符号和计算细节。掌握这种技巧不仅有助于解决类似的问题，还能帮助理解更复杂的积分问题。希望本文能帮助读者更好地理解和应用这一知识点。