自然对数函数 \( \ln x \) 的原函数

在数学中，求解一个函数的原函数（即不定积分）是微积分中的重要课题之一。对于自然对数函数 \( \ln x \)，其原函数可以通过分部积分法轻松推导出来。

首先回顾一下分部积分公式：若两个可导函数 \( u(x) \) 和 \( v'(x) \)，则有

\[

\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx.

\]

将 \( \ln x \) 看作 \( u(x) = \ln x \)，而 \( v'(x) = 1 \)，即 \( v(x) = x \)，代入分部积分公式：

\[

\int \ln x dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx.

\]

简化后得到：

\[

\int \ln x dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C,

\]

其中 \( C \) 是积分常数。因此，自然对数函数 \( \ln x \) 的原函数为：

\[

F(x) = x \ln x - x + C.

\]

这个结果表明，当我们对 \( \ln x \) 进行积分时，除了基本的对数项外，还会额外产生一个线性项 \( -x \)，再加上任意常数 \( C \)。这一结论不仅具有理论意义，也在实际问题中有着广泛应用，例如计算曲线下的面积、解决物理或工程中的优化问题等。

总之，通过分部积分法，我们成功找到了 \( \ln x \) 的原函数，并进一步理解了自然对数函数与指数函数之间的联系。这种技巧和知识构成了高等数学学习的重要基础。