【X乘以sinx的不定积分】在微积分的学习中，求解函数的不定积分是一项基础而重要的技能。其中，“X乘以sinx的不定积分”是一个常见的积分问题，常出现在高等数学、物理以及工程学的课程中。本文将对该积分进行总结，并通过表格形式展示其计算过程和结果。
一、不定积分的基本概念
不定积分是微分运算的逆过程，即已知一个函数的导数，求原函数的过程。对于函数 $ f(x) $，若存在函数 $ F(x) $，使得 $ F'(x) = f(x) $，则称 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，记作：
$$
\int f(x)\,dx = F(x) + C
$$
其中，$ C $ 为任意常数。
二、X乘以sinx的不定积分
我们要求的是以下积分：
$$
\int x \sin x \, dx
$$
这是一个典型的“乘积型”不定积分，适合使用分部积分法（Integration by Parts）来解决。
三、分部积分法公式
分部积分法的基本公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们选择：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \sin x \, dx $，则 $ v = -\cos x $
代入公式得：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx
$$
继续计算右边的积分：
$$
\int \cos x \, dx = \sin x
$$
因此，最终结果为：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
四、总结与表格展示
| 步骤 | 积分表达式 | 分部积分选择 | 计算结果 |
| 1 | $ \int x \sin x \, dx $ | $ u = x $, $ dv = \sin x \, dx $ | $ -x \cos x + \int \cos x \, dx $ |
| 2 | $ \int \cos x \, dx $ | — | $ \sin x $ |
| 3 | 合并结果 | — | $ -x \cos x + \sin x + C $ |
五、结论
通过对 $ x \sin x $ 进行分部积分，我们得到了它的不定积分结果为：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
该结果可以用于求解相关物理或数学问题中的变量变化率、面积计算等实际应用。
如需进一步验证结果的正确性，可对所得结果进行求导，看是否等于原函数 $ x \sin x $。