问平行线间的距离公式

【平行线间的距离公式】在平面几何中，两条平行直线之间的距离是一个重要的概念，常用于解析几何、物理和工程等领域。了解并掌握平行线间的距离公式，有助于解决实际问题，如计算两点间最短路径、优化设计等。

一、平行线间的距离定义

两条平行直线是指在同一平面内，永不相交的直线。它们之间的距离是其中一条直线上任意一点到另一条直线的垂直距离。

二、平行线间的距离公式

设两条平行直线分别为：

- $ L_1: Ax + By + C_1 = 0 $

- $ L_2: Ax + By + C_2 = 0 $

则这两条平行线之间的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：

$$

d = \frac{C_1 - C_2}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

三、公式推导思路（简要）

该公式基于点到直线的距离公式。对于直线 $ L_1 $ 上任意一点 $ (x_0, y_0) $，其到直线 $ L_2 $ 的距离为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + C_2}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

由于 $ (x_0, y_0) $ 在 $ L_1 $ 上，满足 $ Ax_0 + By_0 + C_1 = 0 $，即 $ Ax_0 + By_0 = -C_1 $，代入得：

$$

d = \frac{-C_1 + C_2}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{C_2 - C_1}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

四、应用示例

五、注意事项

1. 公式适用于一般式 $ Ax + By + C = 0 $ 的平行直线。

2. 若两直线不是标准形式，需先将其化为相同系数的形式。

3. 当两直线重合时，$ C_1 = C_2 $，此时距离为 0。

六、总结

平行线间的距离公式是解析几何中的一个基本工具，能够快速计算两条平行直线之间的最短距离。通过掌握该公式及其应用，可以更高效地解决与几何相关的实际问题。理解公式的来源也有助于加深对几何关系的认识。