【极限常用的9个公式】在高等数学中，极限是微积分的基础，掌握一些常见的极限公式对于学习导数、积分以及函数的连续性等概念至关重要。以下是极限中常用的9个公式，适用于不同类型的函数和场景，帮助快速求解极限问题。
一、常用极限公式总结
| 序号 | 公式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常用于三角函数的极限计算 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限公式 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限公式 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 三角函数与多项式的组合极限 |
| 5 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 自然对数底 $e$ 的定义 |
| 6 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$ | 幂函数展开的极限形式 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 与正弦函数类似，适用于正切函数 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限公式 |
| 9 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ | 反三角函数的另一种常见极限 |
二、使用技巧与注意事项
1. 代入法：直接代入变量值，若结果为有限数或无穷大，则可直接得出极限。
2. 等价无穷小替换：如 $\sin x \sim x$、$\ln(1+x) \sim x$ 等，有助于简化复杂表达式。
3. 洛必达法则：适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，通过求导后再次计算极限。
4. 泰勒展开：将函数展开为多项式形式，便于处理高阶无穷小或复杂极限。
5. 夹逼定理：当函数被两个极限相同的函数“夹住”时，其极限也相同。
三、实际应用举例
- 例1：求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$
解：利用 $\frac{\sin x}{x} \to 1$，则 $\frac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \to 2 \cdot 1 = 2$
- 例2：求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$
解：根据公式 $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$，则 $\frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \cdot \frac{e^{3x} - 1}{3x} \to 3 \cdot 1 = 3$
四、结语
掌握这些常用的极限公式，不仅能提高解题效率，还能加深对函数行为的理解。在实际应用中，灵活运用这些公式并结合其他方法（如洛必达法则、泰勒展开等），可以解决更复杂的极限问题。建议在学习过程中多做练习，逐步形成自己的解题思路和经验。