【两个向量垂直所用的公式是什么】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。垂直意味着两个向量之间的夹角为90度，这种关系在几何、物理和工程中都有广泛应用。要判断两个向量是否垂直，可以使用一个简单的数学公式——点积（内积）公式。
一、基本概念
- 向量：具有大小和方向的量，通常表示为 $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$。
- 垂直：两个向量之间形成的角度为 $90^\circ$。
- 点积：两个向量对应分量相乘后求和的结果，记作 $\vec{a} \cdot \vec{b}$。
二、判断两个向量是否垂直的公式
如果两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 垂直，则它们的点积等于 0，即：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
$$
这个公式是判断两个向量是否垂直的核心依据。
三、点积的计算方式
对于二维向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2)$，点积的计算公式为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2
$$
对于三维向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，点积的计算公式为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3
$$
四、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 判断垂直的公式 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
| 点积定义 | 向量对应分量相乘后的总和 |
| 二维向量点积 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ |
| 三维向量点积 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ |
| 应用场景 | 几何、物理、工程等 |
五、实际应用举例
例如，已知 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (-4, 3)$，判断它们是否垂直：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
因此，$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是垂直的。
通过以上内容可以看出，判断两个向量是否垂直的关键在于点积是否为零。这一公式简洁且实用，是向量分析中的基础工具之一。