纯虚数的倒数是一个有趣且重要的数学概念，尤其在复数理论和工程应用中有着广泛的应用。为了理解纯虚数的倒数如何计算，我们首先需要回顾一下纯虚数的基本定义及其运算规则。

纯虚数的定义

纯虚数是指实部为零的复数，通常表示为 \(bi\) 的形式，其中 \(b\) 是一个非零实数，\(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。

倒数的概念

对于任何非零复数 \(z\)，其倒数定义为 \(\frac{1}{z}\)，使得 \(z \cdot \frac{1}{z} = 1\)。

计算纯虚数的倒数

假设我们有一个纯虚数 \(z = bi\)（\(b \neq 0\)），要找到它的倒数，我们可以按照以下步骤进行：

1. 直接求倒数：最直观的方法是直接写出 \(\frac{1}{bi}\)。

2. 化简：为了去除分母中的虚数部分，我们可以乘以共轭复数。对于 \(bi\)，其共轭复数是 \(-bi\)。因此，我们有：

\[

\frac{1}{bi} = \frac{1}{bi} \cdot \frac{-bi}{-bi} = \frac{-bi}{(bi)(-bi)} = \frac{-bi}{b^2 i^2} = \frac{-bi}{b^2 (-1)} = \frac{-bi}{-b^2} = \frac{i}{b}

\]

3. 结果：最终得到的纯虚数 \(bi\) 的倒数是 \(\frac{i}{b}\)。

结论

通过上述步骤，我们可以看到纯虚数 \(bi\) 的倒数是 \(\frac{i}{b}\)。这个过程利用了复数的基本性质和共轭复数的概念，确保了结果是一个具有明确形式的纯虚数。这不仅加深了对复数运算的理解，也展示了复数运算在解决实际问题中的灵活性和实用性。