期望与方差是概率论与统计学中两个非常重要的概念，它们分别描述了随机变量的中心趋势和离散程度。在不同的概率分布中，期望与方差的计算方法也有所不同。本文将对几种常见概率分布的期望与方差公式进行汇总。

1. 离散型随机变量

(a) 二项分布

若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(n\) 和 \(p\) 的二项分布，记作 \(X \sim B(n, p)\)，则其期望和方差分别为：

- 期望：\(E(X) = np\)

- 方差：\(Var(X) = np(1-p)\)

(b) 泊松分布

若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，记作 \(X \sim Poisson(\lambda)\)，则有：

- 期望：\(E(X) = \lambda\)

- 方差：\(Var(X) = \lambda\)

2. 连续型随机变量

(a) 均匀分布

若随机变量 \(X\) 在区间 \([a, b]\) 上服从均匀分布，记作 \(X \sim U(a, b)\)，则其期望和方差为：

- 期望：\(E(X) = \frac{a+b}{2}\)

- 方差：\(Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)

(b) 正态分布

若随机变量 \(X\) 服从均值为 \(\mu\)，标准差为 \(\sigma\) 的正态分布，记作 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则其期望和方差为：

- 期望：\(E(X) = \mu\)

- 方差：\(Var(X) = \sigma^2\)

3. 其他重要公式

- 对于任意随机变量 \(X\)，其方差可以表示为：\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)

- 若 \(Y = aX + b\)（其中 \(a\) 和 \(b\) 是常数），则 \(Y\) 的期望和方差分别为：

- 期望：\(E(Y) = aE(X) + b\)

- 方差：\(Var(Y) = a^2 Var(X)\)

这些公式在统计分析、数据分析以及机器学习等领域有着广泛的应用。理解并掌握这些基本概念和公式对于深入研究概率论与统计学至关重要。