向量乘积主要包括点积（内积）和叉积（外积），它们的模（即长度或大小）有不同的计算方法。

1. 点积（内积）

对于两个向量 \(\vec{A}\) 和 \(\vec{B}\)，其点积定义为：

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta} \]

其中，\(|\vec{A}|\) 和 \(|\vec{B}|\) 分别是向量 \(\vec{A}\) 和 \(\vec{B}\) 的模长，而 \(\theta\) 是这两个向量之间的夹角。因此，点积的结果是一个标量（一个实数）。如果需要计算点积结果的模，实际上就是计算这个标量的绝对值，但通常我们讨论的是点积本身。

2. 叉积（外积）

对于两个三维向量 \(\vec{A}\) 和 \(\vec{B}\)，其叉积定义为：

\[ \vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} \]

叉积的结果是一个新的向量 \(\vec{C}\)，其方向垂直于原始两个向量所在的平面，方向遵循右手定则。叉积的模长可以通过以下公式计算：

\[ |\vec{C}| = |\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin{\theta} \]

这里，\(\theta\) 依然是 \(\vec{A}\) 和 \(\vec{B}\) 之间的夹角。叉积的模长表示了由这两个向量形成的平行四边形的面积。

总结

- 点积 的结果是一个标量，描述了两个向量在彼此方向上的投影关系。

- 叉积 的结果是一个向量，其模长描述了由两个向量形成的平行四边形的面积，且方向垂直于这两个向量构成的平面。

理解这些概念有助于更好地掌握向量运算，并将其应用于物理、工程学以及计算机图形学等领域。