超几何分布是一种离散概率分布，主要用于描述在不放回抽样的情况下，样本中具有某种属性的对象数量的概率分布。它广泛应用于统计学、生物学、质量管理等领域。超几何分布的参数包括总体中的对象总数\(N\)，具有特定属性的对象数\(K\)，以及从总体中抽取的样本大小\(n\)。

超几何分布的期望

超几何分布的期望值（或平均值）可以通过以下公式计算：

\[E(X) = n \cdot \frac{K}{N}\]

这里，\(X\)代表随机变量，表示在样本中具有特定属性的对象数量。这个公式直观地反映了这样一个事实：期望值与样本大小\(n\)成正比，与具有特定属性的对象比例\(\frac{K}{N}\)也成正比。

超几何分布的方差

超几何分布的方差可以使用下面的公式来计算：

\[Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}\]

这个公式展示了方差不仅依赖于样本大小\(n\)和总体中具有特定属性的对象比例\(\frac{K}{N}\)，还依赖于样本抽取后对总体的影响程度，这体现在\(\frac{N-n}{N-1}\)这一项上。随着样本量\(n\)接近总体大小\(N\)，这一项会变得更大，表明方差增加，这是因为样本的抽取对总体的影响更加显著。

应用实例

假设我们有一个包含100个球的袋子，其中30个是红色的，70个是蓝色的。如果我们随机抽取10个球而不放回，那么在这个过程中抽取到红球的数量遵循超几何分布。根据上述公式，我们可以计算出抽取到红球的期望数量为\(10 \cdot \frac{30}{100} = 3\)，并且可以通过方差公式进一步了解抽取红球数量的波动情况。

超几何分布在处理有限总体且不放回抽样问题时提供了强大的工具，帮助我们理解和预测结果的分布特性。