“通解”通常是指在一个数学问题中，能够适用于所有情况的解决方案。它是一个比较宽泛的概念，具体到不同学科或领域可能有不同的含义。比如在代数中，通解可能指一个方程或方程组的所有解；在微积分中，可能指一个不定积分的结果；在物理学中，可能指一个物理定律或公式对所有条件下的适用性。

为了更好地理解“通解”的概念，我们可以以解线性方程组为例来说明如何求得通解。

求线性方程组的通解

考虑一个一般的线性方程组：

\[a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\]

\[a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\]

\[\vdots\]

\[a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m\]

这里，\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)是未知数，\(a_{ij}\)是系数，\(b_i\)是常数项。

步骤一：使用高斯消元法

首先，通过行变换将上述方程组转换为阶梯形矩阵。这一步的目的是简化方程组的形式，使其更容易求解。

步骤二：化简为最简形式

接下来，进一步化简阶梯形矩阵为最简阶梯形矩阵（即每个主元下方和上方都是0），这样可以更清晰地看到变量之间的关系。

步骤三：确定自由变量和基本变量

根据最简阶梯形矩阵，确定哪些变量是基本变量（对应于主元所在的列），哪些是自由变量（其余变量）。自由变量可以在一定范围内取值，而基本变量则由这些自由变量决定。

步骤四：表达通解

最后，用自由变量表示基本变量，得到通解的一般形式。这个过程可能涉及到引入参数来表示自由变量的不同取值情况。

通过上述步骤，我们可以找到给定线性方程组的通解，即所有可能的解的集合。这种方法不仅适用于简单的线性方程组，也适用于更复杂的系统。在实际应用中，理解和掌握这些基本原理对于解决各种科学与工程问题至关重要。